2. Analyse
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∀n ∈ N, u n > u n+1
On dit que (u n ) n∈N est (strictement) monotone si et seulement si
(u n ) n∈N est (strictement) croissante ou (strictement) décroissante.
Toute suite réelle croissante (respectivement décroissante) et majorée
(respectivement minorée) est convergente.
Suites adjacentes



(u n ) n∈N est croissante
(v n ) n∈N est décroissante
(v n − u n ) −−−−→
n→+∞
0
Si deux suites réelles vérifient les
propriétés ci-contre, ces suites sont
dites adjacentes.
Si deux suites sont adjacentes,
elles convergent vers la même limite.
Suites extraites
On appelle suite extraite de (u n ) n∈N toute suite (u σ(n) ) n∈N où σ : N →
N est une application strictement croissante.
Si une suite (u n ) n∈N converge vers l ∈ K, alors toute suite extraite de
(u n ) n∈N converge aussi vers l.
Valeur d’adhérence
On dira que a est une valeur d’adhérence d’une suite (u n ) n∈N si et
seulement s’il existe une suite extraite telle que u σ(n) −−−−→
n→+∞
a
Théorème de Bolzano-Weiertrass
De toute suite bornée de R on peut extraire une suite convergente.
2.5 Fonctions réelles de la variable réelle
Parité
Soit X ⊂ R vérifiant x ∈ X =⇒ −x ∈ X
∀x ∈ X, f (−x) = f (x)
Une fonction f est paire si et seulement si elle vérifie la relation cicontre.
∀x ∈ X, f (−x) = − f (x)
Une fonction f est impaire si et
seulement si elle vérifie la relation
ci-contre.
Périodicité
Soit f : X → K avec X ⊂ R, on dit que f est T-périodique si et seulement si elle vérifie :
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.