2. Analyse
33
Inégalité triangulaire
|z + z
′ | |z| + |z
′ |
z ∈ C : nombre complexe
z ′ ∈ C : nombre complexe
Condition de cocyclicité ou d’alignement de quatre points
z 4 − z 1
z 3 − z 1
/
z 4 − z 2
z 3 − z 2
∈ R
M i point du plan d’affixe z i
z i ∈ C
Les points M 1 , M 2 , M 3 et M 4 sont
cocyliques ou alignés si et seulement si leurs affixes vérifient la
propriété ci-contre.
Formule de Moivre
(cos θ + i sin θ)
n = cos nθ + i sin nθ θ ∈ R
n ∈ Z
Formule d’Euler
cos x =
e ix + e −ix
2
sin x =
e ix − e −ix
2i
x ∈ R
Racines nièmes d’un complexe
z k =
n
√
r
e
i
ϕ+2kπ
n
Les z k sont les solutions de l’équation z n = re iϕ .
(k, n) ∈ N 2 avec 0 k n − 1
z ∈ C
r ∈ R +
En particulier, les racines nièmes
de l’unité : z k = e
i
2kπ
n
Groupe des racines nièmes de l’unité
U = {z ∈ C, |z| = 1} est un groupe pour la multiplication.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
33
Inégalité triangulaire
|z + z
′ | |z| + |z
′ |
z ∈ C : nombre complexe
z ′ ∈ C : nombre complexe
Condition de cocyclicité ou d’alignement de quatre points
z 4 − z 1
z 3 − z 1
/
z 4 − z 2
z 3 − z 2
∈ R
M i point du plan d’affixe z i
z i ∈ C
Les points M 1 , M 2 , M 3 et M 4 sont
cocyliques ou alignés si et seulement si leurs affixes vérifient la
propriété ci-contre.
Formule de Moivre
(cos θ + i sin θ)
n = cos nθ + i sin nθ θ ∈ R
n ∈ Z
Formule d’Euler
cos x =
e ix + e −ix
2
sin x =
e ix − e −ix
2i
x ∈ R
Racines nièmes d’un complexe
z k =
n
√
r
e
i
ϕ+2kπ
n
Les z k sont les solutions de l’équation z n = re iϕ .
(k, n) ∈ N 2 avec 0 k n − 1
z ∈ C
r ∈ R +
En particulier, les racines nièmes
de l’unité : z k = e
i
2kπ
n
Groupe des racines nièmes de l’unité
U = {z ∈ C, |z| = 1} est un groupe pour la multiplication.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.