2. Analyse
31
2.2 Nombres réels
Présentation
(R, +, ·) est un corps commutatif.
est une relation d’ordre total dans R.
∀(a, b, c) ∈ R
3 ,
a b =⇒ a + c b + c
a b
0 c
=⇒ ac bc
Toute partie non vide majorée de R admet une borne supérieure dans
R.
Distance usuelle dans R
d : R × R → R
(x, y) → |x − y|
Le nombre réel d(x, y) est la distance usuelle dans R.
R : corps archimédien
∀ε ∈ R ∗
+ , ∀A ∈ R ∗
+ , ∃n ∈ N ∗ , nε > A
Partie entière – Définition
∀x ∈ R :
E(x) x E(x) + 1
x ∈ R
E(x) : partie entière de x
E(x) est l’unique entier relatif vérifiant la propriété ci-contre.
Densité
∀(x, y) ∈ R
2
(x < y =⇒ (∃d ∈ D, x < d < y))
D ⊂ R
Cette partie D est dite dense dans
R si et seulement si elle vérifie la
propriété ci-contre.
Théorème : Q est dense dans R.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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2.2 Nombres réels
Présentation
(R, +, ·) est un corps commutatif.
est une relation d’ordre total dans R.
∀(a, b, c) ∈ R
3 ,
a b =⇒ a + c b + c
a b
0 c
=⇒ ac bc
Toute partie non vide majorée de R admet une borne supérieure dans
R.
Distance usuelle dans R
d : R × R → R
(x, y) → |x − y|
Le nombre réel d(x, y) est la distance usuelle dans R.
R : corps archimédien
∀ε ∈ R ∗
+ , ∀A ∈ R ∗
+ , ∃n ∈ N ∗ , nε > A
Partie entière – Définition
∀x ∈ R :
E(x) x E(x) + 1
x ∈ R
E(x) : partie entière de x
E(x) est l’unique entier relatif vérifiant la propriété ci-contre.
Densité
∀(x, y) ∈ R
2
(x < y =⇒ (∃d ∈ D, x < d < y))
D ⊂ R
Cette partie D est dite dense dans
R si et seulement si elle vérifie la
propriété ci-contre.
Théorème : Q est dense dans R.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.