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[1] Mathématiques
Applications linéaires en dimension finie
Soient E et F deux K-espaces vectoriels normés, si E est de dimension
finie, alors toute application linéaire E → F est continue.
Suites de Cauchy
On appelle suite de Cauchy dans un K-espace vectoriel normé toute
suite vérifiant :
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀(p, q) ∈ N × N
∗ , p N =⇒ ⇒u p − u p+q ε
Toute suite convergente dans un K-espace vectoriel normé est de Cauchy.
Partie complète – Définition
Une partie A d’un K-espace vectoriel normé est dite complète si et
seulement si toute suite de Cauchy d’éléments de A converge dans A
Partie complète – Propriétés
Toute partie X d’un K-espace vectoriel normé complet vérifie :
X fermée ⇐⇒ X complète
Toute partie compacte d’un K-espace vectoriel normé est complète.
Connexité par arcs
Une partie A d’un K-espace vectoriel normé de dimension finie est dite
connexe par arcs si et seulement si ∀(x, y) ∈ A 2 , ∃γ ∈ C 0 ([a, b], E) tel
que :
γ(a) = x, γ(b) = y
∀t ∈ [a; b], γ(t) ∈ A
Espace préhilbertien – Espace euclidien
On appelle espace préhilbertien tout couple (E, ϕ) où E est un Kespace vectoriel et ϕ un produit scalaire sur E.
On appelle espace euclidien tout espace préhilbertien de dimension
finie.
Théorème de Pythagore
Pour toute famille orthogonale finie (x i ) i∈I d’un espace préhilbertien
(E, (·|·)) on a :
∑
i∈I
x i
2
= ∑
i∈I
x i
2