2. Analyse
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Partie bornée – Définition
Soit (E, · ·) un K-espace vectoriel, une partie A de E est dite bornée
si et seulement si :
∃M ∈ R + , ∀(x, y) ∈ A 2 , d(x, y) M
Voisinage
Soit a ∈ E un K-espace vectoriel, on dit que V est un voisinage de a si
et seulement s’il existe r > 0 tel que B(a, r) ⊂ V
Intérieur – Frontière – Adhérence
On appelle intérieur d’une partie A ⊂ E, avec E un K-espace vectoriel :
◦
A=
Ω ouvert de E
Ω⊂A
Ω
On appelle adhérence de A (notée A) la partie : A =
F fermé de E
F⊃A
F
On appelle frontière de A la partie de A notée ∂A, la partie définie par
A\
◦
A
Valeur d’adhérence
On dit que a est valeur d’adhérence de la suite de E (u n ) n∈N si et seulement s’il existe une suite extraite de (u n ) n∈N telle que u σ(n) − −−− →
a→+∞
a.
Caractérisation de la continuité pour une application linéaire
Soit f ∈ L(E, F) où E et F sont deux K-espaces vectoriels, alors les
deux propositions suivantes sont équivalentes :
(1) f est continue
(2) ∃M ∈ R + , ∀x ∈ E, f (x) F Mx E
Partie compacte
On dit que X ⊂ E, E étant un K-espace vectoriel, est une partie compacte de E si et seulement toute suite d’éléments de X admet au moins
une valeur d’adhérence dans X.
Partie compacte en dimension finie
Les parties compactes d’un K-espace vectoriel de dimension finie sont
les parties fermées bornées.
Normes en dimension finie
Toutes les normes sur un K-espace vectoriel de dimension finie sont
équivalentes.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.