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[1] Mathématiques
Normes équivalentes
Deux normes N 1 et N 2 sont dites équivalentes si et seulement si il existe
(α, β) ∈ R ∗
+
2 tels que :
αN 1 N 2 βN 1
Distance – Définition
Soit (E, · ·) un espace vectoriel normé, on appelle distance associée à
la norme · · l’application d : E 2 → R définie par d(x, y) = x − y.
La distance possède les propriétés suivantes :
1. ∀(x, y) ∈ E 2 , d(x, y) = d(y, x)
2. ∀(x, y) ∈ E 2 , d(x, y) = 0 =⇒ x = y
3. ∀(x, y, z) ∈ E 3 , d(x, z) d(x, y) + d(y, z)
4. ∀(x, y) ∈ E 2 , ∀λ ∈ K, d(λx, λy) = |λ|d(x, y)
5. ∀(x, y, z) ∈ E 3 , d(x + z, y + z) = d(x, y)
Distance d’un point à une partie
On appelle distance de x ∈ E à A, une partie non vide de E, R espace
vectoriel, le réel défini par :
d(x, A) = inf
a∈A
d(x, a)
Boule ouverte – Définition
B(a, r) = {x ∈ E/a − x < r}
Boule fermée – Définition
B(a, r) = {x ∈ E/a − x r}
Partie ouverte de E
On appelle ouvert de E toute partie X de E vérifiant la propriété
∀x ∈ X, ∃r ∈ R
∗
+ , B(x, r) ⊂ X
Partie fermée de E
On appelle fermé de E toute partie de E dont le complémentaire dans
E est un ouvert de E