2. Analyse
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Diagonalisabilité
1. f est diagonalisable.
2. Il existe une base de E formée de
vecteurs propres de f .
3. La somme des sous-espaces
propres pour f est égale à E.
4. La somme des dimensions des
sous-espaces propres pour f est
égale à dim E.
Les propriétés ci-contre sont deux
à deux équivalentes.
E : espace vectoriel de dimension
finie
f ∈ L(E)
Trigonalisation
Soit f ∈ L(E), les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
1. f est trigonalisable
2. χ f est scindé sur K
Drapeau
∀i ∈ {1, . . . , n}, dim(E i ) = i
∀i ∈ {1, . . . , n − 1}, E i ⊂ E i+1
E : un K-espace-vectoriel
(E 1 , . . . , E n ) : famille de sousespaces vectoriels de E
n = dim E
Théorème de Cayley - Hamilton
Le polynôme caractéristique de f annule f , c’est-à-dire ∀ f ∈
L(E), χ f = 0.
2. Analyse
2.1 Espaces vectoriels normés
Norme – Définition
On appelle norme sur un K-espace vectoriel E toute application N :
E → R vérifiant les trois points suivants :
1. ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E, N(λx) = |λ|N(x)
2. ∀x ∈ E, N(x) = 0 =⇒ x = 0
3. ∀(x, y) ∈ E 2 , N(x + y) N(x) + N(y)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.