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[1] Mathématiques
1.10 Réduction des endomorphismes
Valeur propre – Définition
∃x ∈ E, x = 0 tel que :
f (x) = λx
f ∈ L(E)
λ ∈ K : valeur propre de f
Autre formulation : f − λ Id E est
non injectif.
Spectre d’un endomorphisme
Soit f ∈ L(E), on appelle spectre de f noté Sp( f ) l’ensemble :
Sp( f ) = {λ ∈ K, ∃x ∈ E \ {0}/ f (x) = λx}
Vecteur propre – Définition
x = 0 et ∃λ ∈ K
f (x) = λx
x ∈ E : vecteur propre de f
f ∈ L(E)
(alors λ ∈Sp( f ))
Sous-espace propre – Définition
SEP( f , λ) = Ker( f − λ Id E )
SEP( f , λ) : sous-espace propre associé à λ
f ∈ L(E)
λ ∈ Sp( f )
Polynôme caractéristique – Définition
χ A (λ) = det(A − λI n )
χ f (λ) = det( f − λId E )
χ A (λ) : polynôme caractéristique
de A
χ f (λ) : polynôme caractéristique
de f
f ∈ L(E)
A : matrice d’ordre n associée à f
Polynôme caractéristique – Propriétés
– Le coefficient dominant est
(−1) n
– Le coefficient de λ n−1 est
(−1) n−1 tr A
– Le terme constant est det A
A ∈ M n (K)
χ A (λ) : polynôme caractéristique
de A
λ : indéterminée du polynôme