1. Algèbre
25
Propriétés des adjoints
Ker f
∗ = (Im f )
⊥ , Im f
∗ = (Ker f )
⊥
(λ f + g)
∗ = λ f
∗ + g
∗
(g ◦ f )
∗ = f
∗ ◦ g
∗
(Id E )
∗ = Id E
( f
∗ )
∗ = f
( f
−1 )
∗ = ( f
∗ )
−1
Mat f ∗ =
t Mat f
( f , g) ∈ L(E) 2 : endomorphismes
de E admettant des adjoints
f ∗ : endomorphisme adjoint de E
A ⊥ : orthogonal de A, A étant une
partie de E
Définition et propriétés des automorphismes orthogonaux
(1) ∀(x, y) ∈ E 2 :
( f (x)| f (y)) = (x|y)
(2) ∀x ∈ E, f (x) = x
(3) f ∈ O(E)
Les propriétés (1), (2) et (3) sont
équivalentes.
(1) traduit la conservation du produit scalaire.
(2) traduit la conservation de la
norme.
O(E) : ensemble des automorphismes orthogonaux de E
f ∈ L(E)
Caractérisation des automorphismes orthogonaux
t M · M = I n ou M ·
t M = I n
f
∗ ◦ f = f ◦ f
∗ = Id E
M : matrice orthogonale de
M n (K)
f : automorphisme orthogonal de
E
Id E : application identité de E
I n : matrice identité de M n (K)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Propriétés des adjoints
Ker f
∗ = (Im f )
⊥ , Im f
∗ = (Ker f )
⊥
(λ f + g)
∗ = λ f
∗ + g
∗
(g ◦ f )
∗ = f
∗ ◦ g
∗
(Id E )
∗ = Id E
( f
∗ )
∗ = f
( f
−1 )
∗ = ( f
∗ )
−1
Mat f ∗ =
t Mat f
( f , g) ∈ L(E) 2 : endomorphismes
de E admettant des adjoints
f ∗ : endomorphisme adjoint de E
A ⊥ : orthogonal de A, A étant une
partie de E
Définition et propriétés des automorphismes orthogonaux
(1) ∀(x, y) ∈ E 2 :
( f (x)| f (y)) = (x|y)
(2) ∀x ∈ E, f (x) = x
(3) f ∈ O(E)
Les propriétés (1), (2) et (3) sont
équivalentes.
(1) traduit la conservation du produit scalaire.
(2) traduit la conservation de la
norme.
O(E) : ensemble des automorphismes orthogonaux de E
f ∈ L(E)
Caractérisation des automorphismes orthogonaux
t M · M = I n ou M ·
t M = I n
f
∗ ◦ f = f ◦ f
∗ = Id E
M : matrice orthogonale de
M n (K)
f : automorphisme orthogonal de
E
Id E : application identité de E
I n : matrice identité de M n (K)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.