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[1] Mathématiques
Attention : un projecteur orthogonal n’est pas une application orthogonale.
Diagonalisation d’une matrice symétrique
∀S ∈ S n (R), ∃(Ω, D) ∈ O n (R) × D n (R), S = ΩDΩ −1
S n (R) : ensemble des matrices symétriques de R
O n (R) : groupe orthogonal
D n (R) : ensemble des matrices diagonales de R
Valeurs propres de matrices symétriques
Les valeurs propres d’une matrice S ∈ S n (R) sont réelles.
Endomorphisme adjoint – Définition
∀ f ∈ L(E), ∃! f
∗ ∈ L(E) tel que :
∀(x, y) ∈ E
2 ( f (x)|y) = (x| f
∗ (y))
E : espace vectoriel euclidien
L(E) : ensemble des endomorphismes de E
f : endomorphisme de E
f ∗ : l’adjoint de f
x, y : deux vecteurs de E
Automorphismes orthogonaux, symétriques, antisymétriques
(1) f ∗ = f −1
(2) f ∗ = f
(3) f ∗ = − f
Un automorphisme f vérifiant :
– (1) est dit orthogonal
– (2) est dit symétrique ou autoadjoint
– (3) est dit antisymétrique
[1] Mathématiques
Attention : un projecteur orthogonal n’est pas une application orthogonale.
Diagonalisation d’une matrice symétrique
∀S ∈ S n (R), ∃(Ω, D) ∈ O n (R) × D n (R), S = ΩDΩ −1
S n (R) : ensemble des matrices symétriques de R
O n (R) : groupe orthogonal
D n (R) : ensemble des matrices diagonales de R
Valeurs propres de matrices symétriques
Les valeurs propres d’une matrice S ∈ S n (R) sont réelles.
Endomorphisme adjoint – Définition
∀ f ∈ L(E), ∃! f
∗ ∈ L(E) tel que :
∀(x, y) ∈ E
2 ( f (x)|y) = (x| f
∗ (y))
E : espace vectoriel euclidien
L(E) : ensemble des endomorphismes de E
f : endomorphisme de E
f ∗ : l’adjoint de f
x, y : deux vecteurs de E
Automorphismes orthogonaux, symétriques, antisymétriques
(1) f ∗ = f −1
(2) f ∗ = f
(3) f ∗ = − f
Un automorphisme f vérifiant :
– (1) est dit orthogonal
– (2) est dit symétrique ou autoadjoint
– (3) est dit antisymétrique