1. Algèbre
23
Inégalité triangulaire ou de Minkowski
x + y x + y
∀(x, y) ∈ E
2
Il y a égalité si et seulement si les vecteurs x et y sont positivement liés
ou si x = 0.
Relations entre produit scalaire et norme
∀(x, y) ∈ E 2 :
1. x + y 2 = x 2 + 2(x|y) + y 2
2. x − y 2 = x 2 − 2(x|y) + y 2
3. (x|y) =
1
2
x + y
2 − −x
2 − −y
2
4. (x|y) =
1
4
x + y
2 − −x − y
2
Vecteurs orthogonaux
Soit (x, y) ∈ E 2 , on dit que ces deux vecteurs sont orthogonaux si et
seulement si (x|y) = 0.
Parties orthogonales – Orthogonal d’une partie
∀(x, y) ∈ A × B, (x|y) = 0
A
⊥ = {x ∈ E/∀y ∈ A, (x|y) = 0}
x, y : deux vecteurs respectivement de A et de B
A, B : deux parties orthogonales
de E
A ⊥ : orthogonal de la partie A
Inégalité de Bessel
n
∑
j=1
|(e j |x)|
2 x
2
E : espace vectoriel préhilbertien
x : vecteur de E
(e j ) j∈[1,n] : famille orthonormale
de E
Projecteur orthogonal
Ker p = (Im p)
⊥
Im p = (Ker p)
⊥
p : projecteur orthogonal sur Im p
parallèlement à Ker p
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.