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[1] Mathématiques
1.9 Espaces vectoriels euclidiens
Produit scalaire – Définition
Un produit scalaire euclidien sur
E est une application ϕ de E 2 dans
R vérifiant :
(1) ϕ est bilinéaire
(2) ϕ est symétrique
(3) ∀x ∈ E, ϕ(x, x) 0
(4) ∀x ∈ E, ϕ(x, x) = 0 ⇒ x = 0
ϕ vérifiant (3) est dite positive
ϕ vérifiant (4) est dite définie
ϕ vérifiant (3) et (4) est dite
définie-positive
On note ce produit scalaire (·|·)
Forme quadratique
∀x ∈ E, q(x) = ϕ(x, x)
ϕ une forme bilinéaire symétrique
sur E × E
q : E → R : forme quadratique associée à ϕ
Matrice associée
Mat B (ϕ) = (ϕ(e i , e j )) i∈[1,n]
j∈[1,n]
Mat B (ϕ) : matrice de ϕ dans B
B : base de E
ϕ : E × E → R : forme bilinéaire
symétrique.
Expression matricielle
ϕ(x, y) =
t XAY
ϕ : E × E → R : forme bilinéaire
symétrique
(x, y) ∈ E 2
X = Mat B (x)
Y = Mat B (y)
Norme euclidienne – Définition
x 2 =
(x|x)
· · 2 : norme euclidienne sur E
x ∈ E
Inégalité de Cauchy-Schwarz
|(x|y)| x · ·y
∀(x, y) ∈ E
2
Il y a égalité si et seulement si les vecteurs x et y sont liés.