1. Algèbre
21
Système linéaire – Définition
a 11 x 1 + · · · + a 1p x p = b 1
. . .
. . .
. . .
a n1 x 1 + · · · + a np x p = b n
On peut interpréter ce système
comme le produit de la matrice
A = (a i j ) i∈[1,n] j∈[1,p] par le vecteur
X = (x i ) i∈[1,p] (vecteur inconnu).
Ce produit est égal au vecteur second membre : B = (b i ) i∈[1,n]
Système de Cramer
∀ j ∈ [1, p], x j =
det A j (b)
det A
Dans le cas d’un système de Cramer, n = p = rg A.
Le système admet alors une solution unique donnée par les formules de Cramer ci-contre.
A j (b) est obtenue à partir de A en
remplaçant le vecteur colonne c j
par b.
Cas où rg A = n < p
Après permutation des inconnues, on peut supposer que la matrice
A ′ = (a i j ) i∈[1,n]
j∈[1,n]
extraite de A est inversible. On établit alors le système
suivant :
a 11 x 1 + · · · + a 1n x n = b 1 − (a 1n+1 x n+1 + · · · + a 1p x p )
. . .
a n1 x 1 + · · · + a nn x n = b n − (a nn+1 x n+1 + · · · + a np x p )
Ce système est de Cramer et admet donc une solution unique. Cet
ensemble est un sous-espace affine de dimension p − n.
Cas où rg A < n
Soit on peut se ramener au cas précédent par combinaison linéaire des
équations, soit le système n’admet pas de solution.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Système linéaire – Définition
a 11 x 1 + · · · + a 1p x p = b 1
. . .
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a n1 x 1 + · · · + a np x p = b n
On peut interpréter ce système
comme le produit de la matrice
A = (a i j ) i∈[1,n] j∈[1,p] par le vecteur
X = (x i ) i∈[1,p] (vecteur inconnu).
Ce produit est égal au vecteur second membre : B = (b i ) i∈[1,n]
Système de Cramer
∀ j ∈ [1, p], x j =
det A j (b)
det A
Dans le cas d’un système de Cramer, n = p = rg A.
Le système admet alors une solution unique donnée par les formules de Cramer ci-contre.
A j (b) est obtenue à partir de A en
remplaçant le vecteur colonne c j
par b.
Cas où rg A = n < p
Après permutation des inconnues, on peut supposer que la matrice
A ′ = (a i j ) i∈[1,n]
j∈[1,n]
extraite de A est inversible. On établit alors le système
suivant :
a 11 x 1 + · · · + a 1n x n = b 1 − (a 1n+1 x n+1 + · · · + a 1p x p )
. . .
a n1 x 1 + · · · + a nn x n = b n − (a nn+1 x n+1 + · · · + a np x p )
Ce système est de Cramer et admet donc une solution unique. Cet
ensemble est un sous-espace affine de dimension p − n.
Cas où rg A < n
Soit on peut se ramener au cas précédent par combinaison linéaire des
équations, soit le système n’admet pas de solution.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.