1. Algèbre
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Changement de base
A
′ = Q
−1 AP
A ′ : matrice d’une application linéaire de E (dans la base base B ′ )
vers F (dans la base base C ′ )
A : matrice de la même application
linéaire de E (dans la base base B)
vers F (dans la base base C)
P : matrice de passage de B à B ′
Q : matrice de passage de C à C ′
Dans le cas d’un endomorphisme,
Q = P (seulement deux bases sont
nécessaires).
Exponentielle de matrice
exp(A) =
+∞
∑
k=0
1
k!
A
k
A ∈ M n (K)
exp(A) : exponentielle de la matrice A
Déterminant – Définition
Un déterminant est une forme multilinéaire alternée.
Multilinéarité : (det(α 1 V 1 , . . . , α n V n ) = α 1 · · · · α n det(V 1 , . . . , V n ))
Alternée : V i = V j avec i = j =⇒ det(V 1 , . . . , V n ) = 0
Dans une base B = (e 1 , . . . , e n ) de E, on note det B l’application :
det B (V 1 , . . . , V n ) = ∑
σ∈S n
ε(σ)a σ(1)1 · · · a σ(n)n
Avec V j =
n
∑
i j =1
a i j j e i j j
Déterminant d’un produit de matrices
det(M · N) = det M · det N
M ∈ M n (K)
N ∈ M n (K)
Déterminant et matrice inversible
M inversible ⇐⇒ det M = 0
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.