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[1] Mathématiques
Endomorphisme nilpotent
On dit qu’un endomorphisme f d’un K-espace-vectoriel E est nilpotent si et seulement si : ∃p ∈ N ∗ tel que f p = 0. L’ordre de nilpotence
est alors le plus petit p ∈ N ∗ tel que f p = 0.
Applications linéaires – Cas de la dimension finie
(1) f isomorphisme
(2) f injective
(3) f surjective
(4) rg f = n
E et F : deux espaces vectoriels de
même dimension n sur K
f ∈ L(E, F)
Les propositions ci-contre sont
deux à deux équivalentes.
(1) f automorphisme
(2) f injective
(3) f surjective
(4) rg f = n
E : espace vectoriel de dimension
n sur K
f ∈ L(E)
Les propositions ci-contre sont
deux à deux équivalentes.
Image et noyau d’une application linéaire – Propriétés
f surjective ⇐⇒ Im f = F
f injective ⇐⇒ Ker f = {0}
f application linéaire de E dans F.
Projecteur – Définition
p
2 = p (1)
Un projecteur est une application
linéaire vérifiant la relation (1).
p est alors le projecteur sur Im p
parallèlement à Ker p.
Symétrie – Définition
s
2 = Id E
Une symétrie est une application
linéaire vérifiant la relation cicontre.
p =
1
2 (s + Id E ) est un projecteur.
s est la symétrie par rapport
à Ker(s − Id E ), parallèlement à
Ker(s + Id E )
Une symétrie est une application
linéaire vérifiant les propriétés cicontre.