1. Algèbre
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– si f (F ) est libre, alors F est libre.
– si f est bijective, pour toute base B de E, f (B) est une base de F.
Image et noyau d’une application linéaire – Définition
Im f = {y ∈ F/∃x ∈ E, f (x) = y}
On appelle image de f , le sousespace vectoriel de F noté Im f défini ci-contre.
Ker f = {x ∈ E/ f (x) = 0}
On appelle noyau de f , le sousespace vectoriel de E noté Ker f
défini ci-contre.
Noyau d’une forme linéaire
Le noyau d’une forme linéaire, autre que la forme nulle, est un hyperplan.
Rang d’une application linéaire – Définition
Soient E et F deux espaces vectoriels sur K et f une application linéaire
de E dans F. Si Im f est de dimension finie, dim Im f s’appelle rang
de f et se note rg f .
Formule du rang
dim E = rg f + dim(Ker f )
E : espace vectoriel de dimension
finie
f : application linéaire
rg f : rang de f
Ker f : noyau de f
Isomorphisme – Endomorphisme – Automorphisme
– Un isomorphisme d’espaces vectoriels est une application linéaire
de E dans F bijective.
– Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E.
– Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. On note GL(E)
l’ensemble des automorphismes de E.
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Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.