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[1] Mathématiques
Théorème de la base incomplète
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et F = (x 1 , . . . , x r )une
famille libre de E. Il y a au moins une façon de compléter F par n − r
vecteurs d’une base de E pour obtenir une base de E.
Base duale définition
e
∗
i (e j ) = δ i j =
1 si i = j
0 si i = j
E : K-espace-vectoriel
E ∗ : dual de E
B = (e 1 , . . . , e n ) une base de E
B ∗ = (e ∗
1 , . . . , e ∗
n ) base de E ∗
B ∗ est appelé base duale de B
Propriétés des familles libres et des familles génératrices
Soient E un K-espace vectoriel de dimension n
– Toute famille libre de E comporte au plus n éléments.
– Toute famille génératrice de E comporte au moins n éléments.
Droite vectorielle – Hyperplan
On appelle droit vectorielle tout sous-espace vectoriel de dimension 1.
On appelle hyperplan tout sous-espace vectoriel, de dimension n − 1,
d’un espace vectoriel de dimension n.
Codimension
Soit F un sous-espace vectoriel de E, il est dit de codimension finie
si et seulement si F admet au moins un supplémentaire de dimension
finie dans E.
Application linéaire – Définition
∀(x, y) ∈ E
2 , ∀λ ∈ K :
f (x + λy) = f (x) + λ f (y)
On dit que f est une application linéaire de E dans F si et seulement
si elle vérifie la propriété ci-contre.
Forme linéaire – Définition
On appelle forme linéaire une application linéaire qui va de E dans le
corps de référence : K.
Applications linéaires et famille de vecteurs
∀ f ∈ L(E, F), et pour toute famille finie F d’éléments de E :
– f (Vect(F )) = Vect( f (F )).
– si F est liée alors f (F ) est liée.