1. Algèbre
13
Sous-espaces vectoriels supplémentaires
E =
i∈I
E i
(E i ) i∈I : famille de sous-espaces
vectoriels d’un espace vectoriel E.
Ils sont dits supplémentaires si et
seulement s’ils sont en somme directe et que leur somme est égale à
E.
Famille génératrice
Soit (x i ) i∈I une famille de vecteurs d’un espace vectoriel de E sur K.
On dit que cette famille est génératrice si et seulement si tout élément
x de E peut s’exprimer comme combinaison linéaire des x i , c’est-à-dire
qu’il existe une famille (λ i ) i∈I telle que : x = ∑
i∈I
λ i x i .
Famille libre
∑
i∈I
λ i x i = 0 =⇒ ∀i ∈ I, λ i = 0
(x i ) i∈I : famille de vecteurs de E
(λ i ) i∈I : famille de scalaires de K
Une famille est libre si elle vérifie
la propriété ci-contre.
Propriétés fondamentales des familles
– Toute sur-famille d’une famille génératrice d’une famille génératrice
est génératrice.
– Toute sous famille d’une famille libre est une famille libre.
– Si (x 1 , . . . , x n ) libre et (x 1 , . . . , x n , x n+1 ) liée, alors x n+1 =
n
∑
i=1
λ i x i
– Une famille comportant le vecteur nul est liée.
Base d’un espace vectoriel – Définition
Une base de E est une famille de vecteurs (x i ) i∈I de E libre et génératrice.
Autres formulations : une base est une famille libre maximale ou encore une famille génératrice minimale.
Théorie de la dimension
Un K-espace vectoriel est dit de dimension finie si et seulement si E
admet au moins une famille génératrice de dimension finie.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, alors :
1. E admet au moins une base de dimension finie.
2. Toutes les bases de E sont finies et ont le même cardinal appelé dimension de E et noté dim E.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Sous-espaces vectoriels supplémentaires
E =
i∈I
E i
(E i ) i∈I : famille de sous-espaces
vectoriels d’un espace vectoriel E.
Ils sont dits supplémentaires si et
seulement s’ils sont en somme directe et que leur somme est égale à
E.
Famille génératrice
Soit (x i ) i∈I une famille de vecteurs d’un espace vectoriel de E sur K.
On dit que cette famille est génératrice si et seulement si tout élément
x de E peut s’exprimer comme combinaison linéaire des x i , c’est-à-dire
qu’il existe une famille (λ i ) i∈I telle que : x = ∑
i∈I
λ i x i .
Famille libre
∑
i∈I
λ i x i = 0 =⇒ ∀i ∈ I, λ i = 0
(x i ) i∈I : famille de vecteurs de E
(λ i ) i∈I : famille de scalaires de K
Une famille est libre si elle vérifie
la propriété ci-contre.
Propriétés fondamentales des familles
– Toute sur-famille d’une famille génératrice d’une famille génératrice
est génératrice.
– Toute sous famille d’une famille libre est une famille libre.
– Si (x 1 , . . . , x n ) libre et (x 1 , . . . , x n , x n+1 ) liée, alors x n+1 =
n
∑
i=1
λ i x i
– Une famille comportant le vecteur nul est liée.
Base d’un espace vectoriel – Définition
Une base de E est une famille de vecteurs (x i ) i∈I de E libre et génératrice.
Autres formulations : une base est une famille libre maximale ou encore une famille génératrice minimale.
Théorie de la dimension
Un K-espace vectoriel est dit de dimension finie si et seulement si E
admet au moins une famille génératrice de dimension finie.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, alors :
1. E admet au moins une base de dimension finie.
2. Toutes les bases de E sont finies et ont le même cardinal appelé dimension de E et noté dim E.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.