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[1] Mathématiques
1.7 Applications linéaires – Espaces vectoriels
Espace vectoriel – Définition
Soit E un ensemble muni d’une loi interne notée +, d’une loi externe
K × E → E notée · telles que :
(E, +) est un groupe abélien
∀λ ∈ K, ∀(x, y) ∈ E 2 , λ(x + y) = λx + λy
∀(λ, µ) ∈ K 2 , ∀x ∈ E, (λ + µ)x = λx + µx
∀(λ, µ) ∈ K 2 , ∀x ∈ E, λ(µx) = (λµ)x
∀x ∈ E, 1x = x
Un tel ensemble est appelé K-espace vectoriel.
Sous-espace vectoriel
Soit E un K-espace vectoriel et F ⊂ E. F est dit sous-espace vectoriel
de E si et seulement si il vérifie les propriétés suivantes :
(1) F = ∅
(2) ∀(x, y) ∈ F 2 , x + y ∈ F
(3) ∀λ ∈ K, ∀x ∈ F, λx ∈ F
Sous-espace engendré par une partie
Vect(A) =
F⊂E,
F⊃A
F
E : K-espace vectoriel
A ⊂ E
Vect(A) : sous-espace vectoriel
engendré par A
Autrement dit, Vect(A)est le plus
petit sous-espace vectoriel de E
contenant A ou, si A = ∅, l’ensemble des combinaisons linéaires
des éléments de E.
Somme directe de sous-espaces vectoriels
E = ∑
i∈I
E i
∀(i, j) ∈ I
2 E i ∩ ∑
j =i
E j = {0}
(E i ) i∈I : famille de sous-espaces
vectoriels d’un espace vectoriel E.
Si la somme des E i vérifie les deux
propriétés ci-contre, elle est dite
directe.
Dans ce cas : ∀x ∈ E, il existe une
unique décomposition x = ∑
i∈I
x i
avec x i ∈ E i .