1. Algèbre
11
Zéros et pôles d’une fraction rationnelle
Soit R =
P
Q
∈ K(X) avec (P, Q) ∈ K[X] 2 , une fraction rationnelle.
Si P et Q sont deux polynômes premiers entre eux :
- on appelle zéros de R les zéros de P.
- on appelle pôles de R les zéros de Q.
Décomposition en éléments simples
R =
P
S
α 1
1 × · · · × S
α n
n
R = E +
n
∑
i=1
α i
∑
j=1
C α i , j
S
j
i
R ∈ K(X) : une fraction rationnelle
S
α i
i
∈ K[X] : polynôme irréductibles premiers deux à deux entre
eux.
∀i, α i ∈ N ∗
E ∈ K[X] : partie entière de R
1.6 Généralités sur les applications
Application injective
∀(x, y) ∈ E
2
( f (x) = f (y) =⇒ x = y)
Une application f est dite injective si et seulement si elle vérifie
la propriété ci-contre.
Application surjective
∀y ∈ F, ∃x ∈ E/ f (x) = y
Une application linéaire f de E
dans F est dite surjective si et
seulement si elle vérifie la propriété ci-contre.
Composition de fonctions injectives, de fonctions surjectives
g ◦ f injective ⇒ f injective
g ◦ f surjective ⇒ g surjective
f et g : deux applications
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.