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[1] Mathématiques
Fonction polynomiale
À tout polynôme P = ∑
n
a n X
n on associe la fonction polynomiale :
P : ξ → ∑
n
a n ξ
n .
Racine d’un polynôme
P(α) = 0
α est appelée racine du polynôme
P ∈ K[X] si elle vérifie la propriété
ci-contre.
Soit (α) i∈I famille des racines deux à deux distinctes du polynôme P.
Ce polynôme peut alors s’exprimer sous la forme P = Q ∏
i∈I
(x − α i )
m i
où m i est la multiplicité de la racine α i et Q un polynôme n’ayant pas
de zéro dans K.
Multiplicité d’une racine d’un polynôme
P
(m−1) (α) = 0
P
(m) (α) = 0
α est une racine P de multiplicité m si elle vérifie la propriété cicontre.
Polynôme scindé
Un polynôme P ∈ K[X] est dit scindé sur K si et seulement si il existe
λ ∈ K \ {0} et une famille d’éléments non nécessairement distincts
(x i ) i∈[1,n] tels que :
P = λ
n
∏
i=1
(X − x i )
Théorème de d’Alembert & Conséquence
Le corps C est algébriquement clos : tout polynôme non constant de
K[X] admet au moins un zéro dans C
Conséquence : Tout polynôme non constant est scindé sur C.
Fraction rationnelle – Définition
R =
∑
n
a n X
n
∑
n
b n X
n
R ∈ K(X) : fraction rationnelle
K(X) : corps des fractions rationnelles
(a n , b n ) ∈ K 2 : coefficients