1. Algèbre
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Composition
P ◦ Q = P(Q) = ∑
n
a n Q
n
P ◦ Q : polynôme composé
P = ∑
n
a n X
n ∈ K[X]
Q ∈ K[X]
Dérivation
P
′ = ∑
n1
na n X
n−1
P = ∑
n
a n X
n ∈ K[X]
P ′ : polynôme dérivé de P
Division euclidienne
∀(A, B) ∈ (K[X]) 2 , ∃!(Q, R) ∈ (K[X]) 2 /A = BQ + R avec deg R <
deg B.
Q : quotient de la division euclidienne de A par B
R : reste de la division euclidienne de A par B
Divisibilité dans K[X]
On dit que A divise P deux polynômes de K[X] si et seulement s’il
existe Q ∈ K[X] tel que P = AQ.
On appelle plus grand commun diviseur de (P k ) k∈[1,n] ∈ (K[X] \ {0}),
le polynôme de plus haut degré parmi les diviseurs des P k .
Soient (P, Q) ∈ (K[X]) 2 , ils sont dits premiers entre eux si et seulement
si leur plus grand commun diviseur est 1.
Propriété de Gauss : Soient A, B et C trois polynômes non nuls de
K[X] : si A divise BC et si A et B sont premiers entre eux, alors A divise
C.
Si A est premier avec B et avec C, alors A est premier avec BC
Égalité de Bezout pour deux polynômes
Soient A et B deux polynômes non nuls de K[X]. Ces deux polynômes
sont premiers entre eux, si et seulement si il existe un unique couple
(U, V) de polynômes de K[X] tels que :
AU + BV = 1
Polynôme irréductible
Un polynôme P ∈ K[X] est dit irréductible si et seulement si deg P 1
et si P n’admet comme diviseurs que les éléments non nuls du corps K
et les multiples de lui-même.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.