6. Relations entre les opérateurs
185
Coordonnées cylindriques
Laplacien scalaire :
∆V =
1
r
∂V
∂r
+
∂ 2 V
∂r 2 +
1
r 2
∂ 2 V
∂θ 2 +
∂ 2 V
∂z 2
∆V =
1
r
∂
∂r
r
∂V
∂r
+
1
r 2
∂ 2 V
∂θ 2 +
∂ 2 V
∂z 2
Le Laplacien vectoriel n’a pas ici d’expression simple.
Coordonnées sphériques
Le Laplacien scalaire est :
∆V =
1
r
∂
∂r 2 (rV) +
1
r 2 sin
2 θ
∂ 2 V
∂ϕ 2 +
1
r 2 sin
2 θ
∂
∂θ
sin θ
∂V
∂θ
6. Relations entre les opérateurs
Opérateur A · grad
(B B B.grad) A A A =


(B B B.∇ ∇ ∇) A x
(B B B.∇ ∇ ∇) A y
(B B B.∇ ∇ ∇) A z


=









B x
∂A x
∂x
+ B y
∂A x
∂y
+ B z
∂A x
∂z
B x
∂A y
∂x
+ B y
∂A y
∂y
+ B z
∂A y
∂z
B x
∂A z
∂x
+ B y
∂A z
∂y
+ B z
∂A z
∂z









En coordonnées cylindriques et sphériques l’expression n’est plus lisible.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.