1. Algèbre
7
1.4 Arithmétique dans Z
Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)
Soit (x 1 , . . . , x n ) ∈ Z n , une famille d’entiers relatifs non tous nuls ; la famille des diviseurs communs à tous les (x i ) i∈[1,n] admet un plus grand
élément appelé plus grand commun diviseur.
Plus Petit Commun Multiple (PPCM)
Soit (x 1 , . . . , x n ) ∈ N n ; la famille des multiples communs non nuls
aux (x i ) i∈[1,n] admet un plus petit élément appelé plus petit commun
multiple.
Nombres premiers entre eux
Soient (x 1 , . . . , x n ) ∈ (Z ∗ ) n , ces nombres sont premiers entre eux si et
seulement si ils vérifient la propriété : pgcd(x 1 , . . . , x n ) = 1.
Théorème de Bezout
Soient (x 1 , . . . , x n ) ∈ (Z ∗ ) n , pour que tous ces entiers soient premiers
entre eux, il faut et il suffit qu’il existe (u 1 , . . . , u n ) ∈ Z n tel que
n
∑
i=1
x i u i = 1.
Théorème de Gauss
a|bc
pgcd(a, b) = 1
=⇒ a|c
∀(a, b, c) ∈ (Z ∗ ) 3
Produit du PGCD par le PPCM
pgcd(a, b) · ppcm(a, b) = |a · b|
∀(a, b) ∈ (Z ∗ ) 2
Nombres premiers
On dit qu’un entier p ∈ N est premier si et seulement si p 2 et s’il
vérifie :
∀a ∈ N ∗ , (a|p =⇒ (a = 1 ou a = p))
Décomposition en nombres premiers
Tout entier n ∈ N \ {0, 1} admet une décomposition unique en un produit de nombres premiers à l’ordre près des facteurs.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.