1. Algèbre
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Espace vectoriel
Un ensemble E est dit un K-espace vectoriel, si E est non vide et si
on dispose de deux lois, une loi interne notée +, et d’une loi externe
(K × E → E) vérifiant :
(E, +) est un groupe abélien
1. ∀(λ, µ) ∈ K 2 , ∀x ∈ E, (λ + µ)x = λx + µx
2. ∀λ ∈ K, ∀(x, y) ∈ E 2 , λ(x + y) = λx + λy
3. ∀(λ, µ) ∈ K 2 , ∀x ∈ E, λ(µx) = (λµ)x
4. ∀x ∈ E, 1x = x
Algèbre
On appelle K-algèbre tout ensemble A muni d’une loi interne notée +,
d’une loi externe K × A → A et d’une loi interne notée ∗ vérifiant :
1. (A, +, ·) est un K-espace vectoriel
2. ∗ est distributive par rapport à +
3. ∀λ ∈ K, ∀(x, y) ∈ A 2 , λ(x ∗ y) = (λx) ∗ y = x ∗ (λy)
Cette algèbre est associative si et seulement si ∗ est associative, commutiative si et seulement si ∗ est commutative, unitaire si et seulement
si A admet un élement neutre pour ∗.
1.3 Nombres entiers, nombres rationnels
Factorielle – Définition
n! =
n
∏
k=1
k
n! : factorielle n
Par convention : 0! = 1
Permutations
cardS(n) = n!
n! : factorielle n, nombre de permutations d’un ensemble à n éléments
Arrangements
A
p
n =
n!
(n − p)!
(n, p) ∈ N 2 avec p n
On note A
p
n le nombre d’arrangements de p éléments à partir d’un
ensemble de n éléments (c’est-àdire le nombre de p-uplets composés d’éléments deux à deux distincts)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.