1. Algèbre
3
Sous-groupe
Soit (G, ·) un groupe. Une partie H de G est un sous groupe de G si et
seulement si :
– H est stable par la loi · ;
– H contient l’élément neutre ;
– ∀x ∈ H, x −1 ∈ H.
Groupe commutatif
– (Z/ nZ , +) est un groupe commutatif.
– l’application p n : Z → (Z/ nZ )
x → x mod n
, appelée surjection canonique, est
un morphisme surjectif de groupes.
Générateurs du groupe
Les générateurs du groupe (Z/ nZ , +) sont les ˆ
k, avec k ∈ Z et k ∧ n =
1.
Groupe monogène – Groupe cyclique
– Un groupe G est dit monogène si et seulement s’il admet un générateur, c’est-à-dire si et seulement s’il existe a ∈ G tel que G =< a >
– Un groupe G est dit cyclique si et seulement si G est monogène et
fini.
Anneau
Un ensemble A muni de deux lois internes notées + et · est un anneau
si et seulement si :
– (A, +) est un groupe commutatif, d’élément neutre 0 A ;
– · est associative et admet un élément neutre 1 A ;
– · est distributive par rapport à +, c’est-à-dire :
∀(x, y, z) ∈ A 3 , x · (y + z) = (x · y) + (x · z) ;
(x + y) · z = (x · z) + (y · z).
Si · est commutative, on dit que l’anneau A est commutatif.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.