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[1] Mathématiques
Classe d’équivalence
Soit R une relation d’équivalence dans E ; pour x ∈ E, on appelle classe
d’équivalence de x (modulo R) l’ensemble défini par :
cl R (x) = {y ∈ E, xRy}
Ensemble-quotient
On appelle ensemble-quotient de E par R, et on note E/R, l’ensemble
des classes d’équivalence modulo R :
E/R = {cl R , x ∈ E}
1.2 Structures algébriques
Lois de compositions
On appelle loi interne toute application de E × E → E.
Un loi ∗ est dite associative si et seulement si :
∀(x, y, z) ∈ E 3 , x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z
Une loi ∗ interne est dite commutative si et seulement si :
∀(x, y) ∈ E 2 , x ∗ y = y ∗ x
On dit que e est un élément neutre pour ∗ si et seulement si :
∀x ∈ E, x ∗ e = e ∗ x = x
On appelle symétrique de x ∈ E un élement de E noté x −1 vérifiant :
x −1 ∗ x = x ∗ x −1 = e
On dit que rHE est stable par ∗ si et seulement si :
∀(x, y) ∈ H 2 , x ∗ y ∈ H
Groupe
Un ensemble muni d’une loi interne (G, ·) est un groupe si et seulement si :
– · est associative ;
– · admet un élément neutre : e ;
– tout élément de G admet un symétrique pour la loi ·.
Si la loi · est commutative, on dit que le groupe G est abélien ou commutatif.