De même, l'équation f (x,y) = −(x,y) se réduit à x/2 +
√
3 y/2 = −x ,
soit
√
3 x = −y. Ainsi,
Ker( f + Id) = {x(1,−
√
3) : x ∈ R} = Vect((1,−
√
3)).
La famille ((
√
3,1),(1,−
√
3)) est donc une base de R 2 consitutée de vecteurs propres de f. Elle est orthogonale pour le produit scalaire canonique.
En divisant chaque vecteur par sa norme, qui est 2, on obtient une base
(v 1 ,v 2 ) de vecteurs propres pour f orthonormée pour le produit scalaire
canonique.
Notons la matrice de passage de la base canonique à (v 1 ,v 2 ). Alors est
orthogonale. Plus précisément :
=
√
3/2
1/2
1/2 −
√
3/2
et
t
(
t P B P)) =
1 0
0 −1
.
Enfin, en posant
Q = P =
1
√
6
1
√
3
1 −
√
3
∈ G L n (R)
on a
t Q AQ = I 2 et D = t Q B Q =
1 0
0 −1
.
On remarque que les coefficients diagonaux de D ne sont pas les valeurs propres de
B. En effet, il ne s'agit pas d'une formule de changement de base : c'est
t Q, et non
Q −1 , qui intervient dans la relation précédente, et ces deux matrices sont différentes
car Q n'est pas orthogonale
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Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire