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Exercice 4.1 : Réunion et intersection de boules
Dans un espace vectoriel normé E, on désigne par B r (a) et B
r (a) les boules, respectivement ouvertes et fermées, de centre a et de rayon r.
1. Déterminer
∞
n=1
B n+1
n
(a). Qu'en déduit-on ?
2. Déterminer
∞
n=1
B
n
n+1
(a). Qu'en déduit-on ?
On observe que les rayons tendent vers 1 quand n tend vers l'infini.
L'objectif est d'aboutir à des mises en garde sur des intersections et des réunions
infinies.
1. Comme lim
n→∞
n+1
n
= 1, on a :
∞
n=1
B n+1
n
(a) =
x ∈ E ; ∀n 1 x − a <
n + 1
n
=
x ∈ E ; x − a 1
= B
1 (a).
Une intersection infinie d'ouverts n'est donc pas toujours un ouvert.
2. Comme lim
n→∞
n + 1
n
= 1, on a :
∞
n=1
B
n
n+1
(a) =
x ∈ E ; ∃n 1 x − a
n
n + 1
=
x ∈ E ; x − a < 1
= B 1 (a).
.
Une réunion infinie de fermés n'est donc pas toujours un fermé.
Espaces vectoriels
normés
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