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Chapitre 4 • Espaces vectoriels normés
Exercice 4.2 : Boule unité
a) Montrer que N définie sur R 2 par :
N
(x,y)
= max
|x|,|y|,|x − y|
est une norme.
b) Dessiner la boule de centre O et de rayon 1.
Pour la détermination de la boule unité, vous savez que le maximum de trois valeurs est
inférieur ou égal à 1, si, et seulement si, chacune des trois valeurs vérifie cette condition.
a) N est une norme
• N est bien une application de R 2 dans R + .
• N
(x,y)
= 0 ⇐⇒ |x| = |y| = |x − y| = 0 ⇐⇒ (x,y) = (0,0) .
• N
λ(x,y)
= max
|λx|,|λy|,|λ(x − y)|
= |λ| max
|x|,|y|,|x − y|
= |λ|N
(x,y)
.
• |x + x | |x| + |x | N
(x,y)
+ N
(x ,y )
|y + y | |y| + |y | N
(x,y)
+ N
(x ,y )
|x + x − y − y | |x − y| + |x − y | N
(x,y)
+ N
(x ,y )
donc N
(x,y) + (x ,y )
N
(x,y)
+ N
(x ,y )
.
b) Boule unité
La boule de centre O et de rayon 1 est l'ensemble des (x,y) tels que :



−1 x 1
−1 y 1
x − 1 y x + 1
Exercice 4.3 : Comparaison de normes
Soit E l'espace vectoriel réel C 1
[0,1],R
et N l'application de E dans R + définie par : N ( f ) =
f 2 (0) +
1
0
f
2
(t)dt .
1. Montrer que N est une norme.
2. Comparer N et . ∞ .
–1
–1
1
1
0