1. La démonstration des axiomes d'une norme a de quoi vous décourager. Mais si
vous pensez à introduire un produit scalaire dont N est la norme euclidienne, tout
devient facile.
1. Considérons la forme définie sur E × E par :
ϕ( f,g) = f (0) g(0) +
1
0
f
(t)g
(t)dt .
Elle est bilinéaire, symétrique, positive et définie car :
ϕ( f, f ) = f 2 (0) +
1
0
f
2
(t)dt = 0 ⇒ f (0) = 0 et f = 0
car f continue
⇒ f = 0.
ϕ est donc un produit scalaire sur E, et N est la norme euclidienne qui lui
est associée.
2. Comme E est de dimension infinie, on ne sait pas a priori si les deux normes sont
équivalentes. En général, la réponse est alors non.
Plus précisément, nous allons démontrer que, parmi les deux nombres α et β de la
définition de normes équivalentes, l'un existe et l'autre non.
• Pour f ∈ E et x ∈ [0,1], on a : f (x) = f (0) +
x
0
f
(t)dt.
On en déduit :
| f (x)| | f (0)| +
x
0
| f
(t)|dt | f (0)| +
1
0
| f
(t)|dt .
puis :
f 2 (x) 2
f 2 (0) +
1
0
| f
(t)|dt
2
car, pour tous réels a et b, on a : (a + b) 2 2(a 2 + b 2 ).
D'autre part, l'inégalité de Schwarz donne :
1
0
1 × | f
(t)|dt
2
1
0
1
2 dt ×
1
0
f
2
(t)dt .
On a donc, pour tout x ∈ [0,1], | f (x)|
√
2N ( f ), ce qui permet de
conclure :
f ∞
√
2N ( f ).
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Chapitre 4 • Espaces vectoriels normés