• Pour démontrer que
N ( f )
f ∞
; f ∈ E
n'est pas majoré, il faut imaginer une
suite ( f n ) de fonctions de E dont le quotient des normes tende vers l'infini.
Considérons les fonctions f n (avec n ∈ N ∗ ) définies sur [0,1] par f n (t) = t n .
On a bien f n ∈ E ; et le calcul donne : f n ∞ = 1 et N ( f n ) =
n
√
2n − 1
·
L'ensemble des quotients
N ( f n )
f n ∞
=
n
√
2n − 1
n'est donc pas majoré.
Les normes N et . ∞ ne sont pas équivalentes.
Exercice 4.4 : Normes équivalentes
On considère l'espace vectoriel E des fonctions f ∈ C 1
[0,1],R
telles que
f (0) = 0.
On définit deux normes en posant, pour f ∈ E :
N 1 ( f ) = || f || ∞ + || f
|| ∞ ; N 2 ( f ) = || f + f
|| ∞
où ||g|| ∞ désigne la borne supérieure de |g| sur [0,1]. On rappelle que ||.|| ∞ est
une norme sur E.
1. Montrer que N 1 et N 2 sont bien des normes.
2. Montrer qu'elles sont équivalentes.
1. Vérifier qu'une application est une norme est généralement routinier. La principale difficulté est souvent de vérifier || f || = 0 ⇒ f = 0.
a) Étude de N 1
• N 1 est bien une application de E dans R + .
• Soit f ∈ E et λ ∈ R. Alors, sachant que ||.|| ∞ est une norme :
N 1 (λ f ) = ||λ f || ∞ + ||λ f || ∞ = |λ| || f || ∞ + |λ| || f || ∞ = |λ|N 1 ( f )
• Soit f et g ∈ E. On a :
N 1 ( f + g) = || f + g|| ∞ + || f + g || ∞
|| f || ∞ + ||g|| ∞ + || f || ∞ + ||g || ∞ = N 1 ( f ) + N 1 (g)
• Soit f ∈ E telle que N 1 ( f ) = 0.
Alors || f || ∞ + || f || ∞ = 0, soit || f || ∞ = || f || ∞ = 0 (car ces nombres
sont positifs) d'où enfin f = 0.
N 1 est donc bien une norme sur E.
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Chapitre 4 • Espaces vectoriels normés