b) Étude de N 2
Les trois premiers points sont analogues au cas précédent. Étudions seulement le dernier.
Soit f ∈ E telle que N 2 ( f ) = 0.
Alors || f + f || ∞ = 0 , soit f + f = 0 (car ||.|| ∞ est une norme sur E).
D'après les résultats du cours sur les équations différentielles, il existe un
réel K tel que :
∀x ∈ [0,1] f (x) = K e
−x
,
Par ailleurs, f ∈ E donc f (0) = 0, ce qui impose K = 0 d'où f = 0.
N 2 est donc bien une norme sur E.
2. On souhaite démontrer qu'il existe deux nombres réels positifs a et b tels que,
pour tout f ∈ E :
N 1 ( f ) a N 2 ( f ) et N 2 ( f ) b N 1 ( f ) .
Ici, une inégalité est claire (par l'inégalité triangulaire) et l'autre beaucoup moins...
Soit f ∈ E. Alors, pour tout x ∈ [0,1] :
| f (x) + f
(x)| | f (x)| + | f
(x)| || f || ∞ + || f
|| ∞ .
Ainsi, le réel || f || ∞ + || f || ∞ est un majorant de la fonction | f + f | donc :
|| f + f
|| ∞ || f || ∞ + || f
|| ∞
c'est-à-dire : N 2 ( f ) N 1 ( f ).
Pour l'autre inégalité, nous allons d'abord essayer de majorer || f || ∞ par
c || f + f || ∞ , où c est un certain réel indépendant de f.
Soit f ∈ E et notons K la constante || f + f || ∞ .
On a, pour tout réel x :
f (x) + f (x)
K. Comme e x > 0 il vient :
∀x ∈ [0,1] e x
f (x) + f (x)
K e x
soit, en posant g(x) = e x f (x) :
∀x ∈ [0,1]
g
(x)
K e
x .
Comme g(0) = f (0) = 0 , on a donc :
∀x ∈ [0,1]
g(x)
=
x
0
g
(t) dt
x
0
|g
(t)| dt K (e
x
− 1)
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Chapitre 4 • Espaces vectoriels normés