soit enfin, en multipliant par e −x > 0 :
∀x ∈ [0,1] | f (x)| K (1 − e
−x
) K
donc : f ∞ || f + f || ∞ .
Par ailleurs :
|| f
|| ∞ = || f
+ f − f || ∞ || f + f
|| ∞ + || f || ∞ 2 || f + f
|| ∞ .
On a donc :
N 1 ( f ) 3 N 2 ( f ).
Exercice 4.5 : Partie dense dans un ensemble de matrices
Dans M 2 (C), on considère l'ensemble D des matrices diagonalisables.
Démontrer que D est une partie dense de M 2 (C).
Comme l'espace est de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes ; à vous
de choisir.
On va considérer une matrice A non diagonalisable, et démontrer que c'est la limite
d'une suite de matrices diagonalisables.
Choisissons dans M 2 (C) la norme M ∞ = sup
i, j
|m i j | .
Soit A =
a b
c d
une matrice non diagonalisable de M 2 (C).
On a donc (b,c) = / (0,0). Supposons par exemple c = / 0 et, pour n ∈ N ∗ ,
posons :
A n =

 a b +
1
n
c
d

 .
Comme A n'est pas diagonalisable, il est nécessaire que son polynôme caractéristique
P = X 2 − (a + d)X + (ad − bc)
ait une racine double, ce qui correspond à la condition :
= (a + d) 2 − 4(ad − bc) = 0 .
Le polynôme caractéristique de A n :
P n = X
2
− (a + d)X + (ad − bc − c
1
n
)
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Chapitre 4 • Espaces vectoriels normés