a pour discriminant :
n = (a + d) 2 − 4(ad − bc − c
1
n
) = 4
c
n
·
Par conséquent, pour tout n ∈ N ∗ , on a n = / 0 . Dans ce cas, la matrice A n
a deux racines distinctes et elle est donc diagonalisable.
D'autre part, A − A n ∞ =
1
n
·
Donc A est la limite d'une suite d'éléments de D : c'est un point adhérent
à D.
Autrement dit, D est dense dans M 2 (C).
Exercice 4.6 : Partie dense dans un ensemble de polynômes
On considère E = R[X] muni de la norme :
P = sup
|P(t)| ; t ∈ [−1,1]
Démontrer que l'ensemble des polynômes nuls en 2 est une partie dense de E.
Il s'agit de démontrer que tout polynôme de E est un point adhérent de l'ensemble
considéré. Pour ceci, on peut démontrer qu'il est la limite d'une suite de polynômes
nuls en 2. Mais il faudra que cette limite soit relative à la norme fournie, car l'espace E étant de dimension infinie, il n'y a aucune raison que deux normes de E
soient équivalentes.
Désignons par F l'ensemble des polynômes nuls en 2, c'est-à-dire les polynômes Q tels que Q(2) = 0.
Soit P /
∈ F et montrons que P est un point adhérent à F en donnant un
exemple de suite d'éléments de F qui converge (dans E) vers P.
Pour n ∈ N, considérons le polynôme Q n = P − P(2)
X
2
n
.
On a Q n (2) = 0 , c'est-à-dire que Q n ∈ F. D'autre part,
P − Q n = sup
P(2)
t
2
n
; t ∈ [−1,1]
=
1
2 n |P(2)|
entraîne que lim
n→+∞
P − Q n = 0, c'est-à-dire que P est un point adhérent à F.
F est donc dense dans E.
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Chapitre 4 • Espaces vectoriels normés