Exercice 4.7 : Fonction continue
Soit E et F deux espaces vectoriels normés et f ∈ L(E,F). Montrer l'équivalence entre :
(a) f est continue ;
(b) pour tout suite (u n ) de E telle que lim
n→+∞
u n = 0, la suite
f (u n )
de F est
bornée.
Les espaces E et F sont de dimension infinie. En effet, en dimensions finies, toute
application linéaire est continue, et même uniformément continue.
Nous allons noter N la norme de E et N la norme de F.
• (a) ⇒ (b)
Supposons que f soit continue et que lim
n→+∞
u n = 0.
On a alors : lim
n→+∞
f (u n ) = f (0) = 0, ce qui entraîne que
f (u n )
est
bornée.
• (b) ⇒ (a)
Nous allons utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité en 0,
c'est-à-dire la définition de la continuité en langage de suites.
Soit (u n ) une suite telle que lim
n→+∞
u n = 0. Définissons la suite (v n ) par :



v n =
u n
√
N (u n )
si u n = / 0
v n = 0
si u n = 0
On a N (v n ) =
√
N (u n ) ; donc lim
n→+∞
v n = 0.
Par suite, la suite
f (v n )
est bornée, soit :
∃M > 0 ∀n N
f (v n )
M
d'où : N
f (u n )
M
√
N (u n ) , donc lim
n→+∞
f (u n ) = 0.
Nous venons de démontrer que f est continue en 0. Elle est donc continue
en tout point x puisqu'elle est linéaire.
Exercice 4.8 : Application linéaire non continue
Soit E = C
[0,1],R
muni de la norme f 1 =
1
0
| f (t)|dt et c ∈ [0,1] .
Montrer que l'application de E dans R : f → f (c) n'est pas continue.
100
Chapitre 4 • Espaces vectoriels normés