Remarquons d'abord que le problème est possible puisque E n'est pas de dimension finie.
Pour démontrer que n'est pas continue, construisez une suite de fonctions f n ∈ E telle
que l'on n'ait pas lim
n→∞
( f n ) =
lim
n→∞
f n
(avec N 1 ).
Supposons que c ∈]0,1[ . Pour n ∈ N ∗ , on définit f n sur [0,1] par :

   
   
f n (t) =
t
c
n
pour 0 t c
f n (t) =
1 − t
1 − c
n
pour c t 1
f n est bien continue sur [0,1] et on a f n (c) = 1.
Si c = 1, f n est définie par la première expression ci-dessus.
Si c = 0, f n est définie par la seconde expression ci-dessus.
Calculons la norme :
N 1 ( f n ) =
c
0
t
c
n
dt +
1
c
1 − t
1 − c
n
dt
=
t n+1
(n + 1)c n
c
0
+
−
(1 − t) n+1
(n + 1)(1 − c) n
1
c
=
c
n + 1
+
1 − c
n + 1
=
1
n + 1
Soit f la fonction nulle. D'après le calcul ci-dessus, on a : lim
n→∞
N 1 ( f n − f ) = 0 ,
c'est-à-dire que la suite ( f n ) converge vers f dans (E,N 1 ) .
On obtient : lim
n→∞
( f n ) = lim
n→∞
f n (c) = 1 et
lim
n→∞
f n
= ( f ) = 0 .
Ces deux limites ne sont pas égales, ce qui démontre que n'est pas continue pour
la norme N 1 .
Exercice 4.9 : Fonction uniformément continue
Soit f une fonction continue sur R + ayant une limite finie à l'infini.
Montrer que f est uniformément continue sur R + .
Soit ε > 0. L'hypothèse lim
x→+∞
f (x) = l entraîne :
∃A > 0 ∀x A | f (x) − l|
ε
3
Par suite, pour x A et y A, on a :
| f (x) − f (y)| | f (x) − l| + |l − f (y)|
2ε
3
·
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Chapitre 4 • Espaces vectoriels normés