D'autre part, f est continue sur le segment [0,A] ; elle y est donc uniformément continue :
∃η > 0 ∀(x,y) ∈ [0,A]
2
|x − y| η ⇒ | f (x) − f (y)|
ε
3
Enfin, si x A y avec |x − y| η, on a :
| f (x) − f (y)| | f (x) − f (A)| + | f (A) − f (y)|
ε
3
+
2ε
3
= ε .
En conclusion :
∀ε > 0 ∃η > 0 ∀(x,y) ∈ R
2
+ |x − y| η ⇒ | f (x) − f (y)| ε .
f est donc uniformément continue sur R + .
Exercice 4.10 : Applications linéaires non continues
Soit E un espace vectoriel réel normé, et f et g deux endomorphismes de E qui
vérifient :
f ◦ g − g ◦ f = Id E .
1. Pour tout n ∈ N ∗ , calculer : f ◦ g n − g n ◦ f.
2. Montrer que f et g ne sont pas simultanément continues.
L'espace E est de dimension infinie car, en dimension finie, on pourrait considérer
la trace pour montrer que l'hypothèse f ◦ g − g ◦ f = Id E est impossible.
1. Imaginez une formule à partir des premiers termes, puis démontrez-la par récurrence.
Notons h n = f ◦ g n − g n ◦ f .
On a par hypothèse : h 1 = Id E .
h 2 = f ◦ g 2 − g 2 ◦ f = ( f ◦ g) ◦ g − g ◦ g ◦ f
= (g ◦ f + Id E ) ◦ g − g ◦ g ◦ f
= g + g ◦ ( f ◦ g − g ◦ f )
= 2g
Faisons l'hypothèse de récurrence (vérifiée pour n = 1 et n = 2) :
h n = ng n−1 .
Il reste à démontrer que, pour tout n ∈ N ∗ :
h n = ng n−1 ⇒ h n+1 = (n + 1)g n .
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Chapitre 4 • Espaces vectoriels normés