On a :
h n+1 = f ◦ g n+1 − g n+1 ◦ f = ( f ◦ g) ◦ g n − g n+1 ◦ f
= (g ◦ f + Id E ) ◦ g n − g n+1 ◦ f = g n + g ◦ ( f ◦ g n − g n ◦ f )
= g n + g ◦ (ng n−1 )
= (n + 1)g n ,
ce qui achève la démonstration de :
∀n ∈ N
∗
f ◦ g
n
− g
n
◦ f = ng
n−1
(1) .
2. Raisonnez par l'absurde.
Supposons que f et g soient toutes les deux continues. Comme elles sont
linéaires, on peut utiliser la norme (subordonnée) d'une application linéaire
continue. À partir de l'égalité (1), on a donc :
n |||g n−1 ||| 2||| f ||| × |||g n−1 ||| × |||g|||
On vient d'utiliser la propriété d'une norme subordonnée : ||| f ◦ g||| ||| f ||| × |||g|||.
Mais pour pouvoir continuer, il a fallu l'appliquer à des fonctions bien choisies, ce
qui n'est pas toujours le cas au premier essai.
Maintenant, peut-on simplifier par |||g n−1 ||| ?
Raisonnons par l'absurde en supposant que g n−1 = 0. L'égalité (1) s'écrit
en remplaçant n par n − 1 :
f ◦ g n−1 − g n−1 ◦ f = (n − 1)g n−2 .
On aurait donc alors g n−2 = 0, et ainsi de suite jusqu'à g = 0, ce qui est
impossible d'après l'hypothèse.
L'hypothèse g n−1 = 0 est donc rejetée. On peut simplifier par |||g n−1 |||, ce
qui entraîne :
∀n ∈ N ∗ n 2||| f ||| × |||g|||
ce qui est impossible.
Les applications linéaires f et g ne sont donc pas simultanément continues.
Pour montrer que l'exercice a du sens, voici un exemple où les hypothèses sont vérifiées :
E = R[X] ; f et g définies par : f (P) = P et g(P) = X P.
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Chapitre 4 • Espaces vectoriels normés