Exercice 4.11 : Norme subordonnée
Soit E l'espace C([0,1],R) muni de la norme :
f = sup
| f (t)| ; t ∈ [0,1]
.
Soit ϕ l'endomorphisme de E défini par :
∀x ∈ [0,1]
ϕ( f )
(x) =
x
0
f (t) dt .
Déterminer |||ϕ||| et étudier la suite (ϕ n ).
ϕ est linéaire et continue. On peut donc bien considérer sa norme subordonnée
|||ϕ|||.
En ce qui concerne la suite, le seul résultat qu'on puisse envisager est que la limite
soit 0 en considérant les normes. Il faudra donc majorer finement |||ϕ n |||.
• Pour tout x ∈ [0,1], on a :
x
0
f (t) dt
f × |x| f ,
ce qui entraîne :
ϕ( f ) f .
Dans cette inégalité, l'égalité est réalisée pour la fonction particulière :
f (t) = 1.
On a donc :
|||ϕ||| = 1 .
• La conséquence spontanée de l'égalité obtenue est : |||ϕ n ||| 1. Comme on ne
peut rien en déduire, il va falloir améliorer la majoration.
On a vu que : |ϕ( f )(x)| f × x . On en déduit :
|ϕ 2 ( f )(x)| =
x
0
ϕ( f )(t) dt
x
0
|ϕ( f )(t)| dt
f ×
x
0
t dt f ×
x 2
2
·
En poursuivant le processus, et à l'aide d'un raisonnement par récurrence, on
obtient :
|ϕ n ( f )(x)| f ×
x n
n!
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Chapitre 4 • Espaces vectoriels normés