ce qui entraîne :
ϕ n ( f ) f ×
1
n!
Dans cette inégalité, l'égalité est réalisée pour la fonction particulière :
f (t) = 1.
On a donc :
|||ϕ n ||| =
1
n!
·
On peut alors en déduire que lim
n→+∞
ϕ
n
= 0.
Exercice 4.12 : Compacité du groupe des matrices orthogonales
Démontrer que le groupe orthogonal O n (R) est compact.
Il s'agit d'une partie de M n (R) . L'espace vectoriel étant de dimension finie, on sait
que toutes les normes sont équivalentes, donc vous pouvez choisir.
D'autre part, vous pouvez caractériser une matrice orthogonale A de plusieurs
façons : par
t A A = I n , par les vecteurs colonnes qui sont orthonormés …
Comme la dimension de M n (R) est finie, un compact est un fermé borné.
• O n (R) fermé
– Première démonstration
Soit (A p ) p∈N une suite d'éléments de O n (R) convergeant vers un élément
A de M n (R).
La suite de terme général
t A p A p est constante égale à I n , donc
lim
p→+∞
t A p A p = I n .
Par ailleurs,
t A p A p tend vers
t A A, car l'application (A,B) → t AB est bilinéaire donc continue.
Par unicité de la limite il vient
t A A = I n , c'est-à-dire A ∈ O n (R).
– Deuxième démonstration
L'application f de M n (R) dans M n (R) définie par f (A) = t A A est continue (pour n'importe quelle norme) puisque les coefficients de f (A) sont des
fonctions polynomiales des coefficients de A.
O n (R) est l'image réciproque par f du fermé {I n }. Il est donc fermé.
• O n (R) borné
– Première démonstration
Si A ∈ O n (R), en choisissant la norme ||A|| =
√
tr( t A A) , on a
||A|| =
√
n , ce qui montre que O n (R) est borné.
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Chapitre 4 • Espaces vectoriels normés