– Deuxième démonstration
Les coefficients d'une matrice orthogonale sont compris entre −1 et 1.
O n (R) est donc borné par 1 pour la norme A = sup
i, j
|a i j |.
Exercice 4.13 : Un fermé borné non compact
Trouver un exemple de fermé borné non compact dans un espace vectoriel
normé.
En dimension finie, c'est impossible. Il faut donc chercher un espace vectoriel
normé de dimension infinie. Les exemples les plus courants sont R[X] et
C([0,1],R).
• Premier exemple
Prenons E = R[X] , muni de la norme N (P) =
i
|a i |.
La sphère unité S(O,1) = {P; N (P) = 1} est fermée et bornée.
Pour tout n ∈ N, X n ∈ S(O,1). Mais on ne peut pas extraire de la suite
(X n ) une sous-suite convergente, puisque, pour m et n quelconques, on a
N (X m − X n ) = 2 .
S(O,1) n'est donc pas un compact.
• Deuxième exemple
Prenons E = C([0,1],R), muni de la norme f ∞ .
La sphère unité S(O,1) = { f ; ; f ∞ = 1} est fermée et bornée.
Considérons les fonctions f n ∈ E (n ∈ N ∗ ) définies par :

       
       
f n (x) = 0
si x ∈
0,
1
n + 1
f n (x) = n(n + 1)x − n
si x ∈
1
n + 1
,
1
n
f n (x) = 1
si x ∈
1
n
, 1
On ne peut pas extraire de la suite ( f n ) une sous-suite convergente,
puisque, pour m et n quelconques avec m = / n, on a f m − f n ∞ = 1.
S(O,1) n'est donc pas un compact.
Exercice 4.14 : Somme d'un compact et d'un fermé
Dans un espace vectoriel normé E, on considère un compact X et un fermé Y.
Montrer que X + Y est un fermé.
106
Chapitre 4 • Espaces vectoriels normés