On peut définir de plusieurs façons X compact et Y fermé. La démonstration est
beaucoup plus simple si on choisit le point de vue des suites.
Soit (z n ) une suite d'éléments de X + Y qui converge vers z dans E. Il faut
montrer que z ∈ X + Y.
Pour tout n ∈ N, on peut écrire : z n = x n + y n avec x n ∈ X et y n ∈ Y.
Comme X est compact, on peut extraire de (x n ) une sous-suite convergente
(x n k ) dont la limite x appartient à X.
La suite extraite (z n k ) converge vers z dans E.
La suite de terme général y n k = z n k − x n k est donc convergente vers une
limite y. Et cette limite appartient à Y car Y est fermé.
On a donc z = x + y ∈ X + Y, ce qui prouve que X + Y est fermé.
L'hypothèse X et Y fermés n'entraîne pas que X + Y soit fermé. Pour vous en persuader, représentez dans le plan les parties :
X = {(x,y) ; xy = 1 et x > 0} et Y = {(x,y) ; x = 0 et y 0} .
Exercice 4.15 : Suites de Cauchy
Soit E = C 0 ([0,1],R). Pour f ∈ E, on considère les normes N 1 ( f ) =
1
0
| f (t)|dt
et N ∞ ( f ) = sup
t∈[0,1]
| f (t)|.
1. Comparer ces deux normes.
2. Soit f n (t) = min
n,
1
√
t
.
Montrer que ( f n ) est une suite de Cauchy dans E muni de N 1 .
3. Que peut-on en dire de la suite ( f n ) dans E muni de N ∞ ?
1. Ces deux normes sont classiques. Il est inutile de redémontrer que ce sont des
normes. On sait aussi qu'elles ne sont pas équivalentes, mais on va le démontrer.
• On a : ∀t ∈ [0,1] | f (t)| N ∞ ( f )
ce qui entraîne en intégrant sur [0,1] :
N 1 ( f ) N ∞ ( f ).
• Pour n ∈ N, considérons les fonctions f n définies sur [0,1] par f n (t) = t n .
On a :
N 1 ( f n ) =
1
n + 1
; N ∞ ( f n ) = 1 ;
N ∞ ( f n )
N 1 ( f n )
= n + 1
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Chapitre 4 • Espaces vectoriels normés