L'ensemble
N ∞ ( f )
N 1 ( f )
; f ∈ E
n'est donc pas majoré : les deux normes ne
sont pas équivalentes.
2. Pour vous aider, faites un dessin avec deux courbes associées à des fonctions f p
et f q .
Une fonction f n est définie par :
f n (t) = n si 0 t
1
n 2 ; f n (t) =
1
√
t
si
1
n 2 t 1 .
Supposons q > p. Le graphique des fonctions f p et f q a l'allure suivante :
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Chapitre 4 • Espaces vectoriels normés
q
p
1
1
0
1
q 2
1
p 2
t
1
÷
N 1 ( f q − f p ) =
1
q 2
0
(q − p) dt +
1
p 2
1
q 2
1
√
t
− p
dt
=
1
q 2 (q − p) +
2
√
t − pt
1
p 2
1
q 2
=
1
p
−
1
q
Si on a p n 0 et q n 0 , on peut écrire :
1
p
−
1
q
1
p
1
n 0
Donc, pour tout ε > 0 donné, il existe un entier n 0 tel que
1
n 0
ε. Dans ce
cas, les hypothèses p n 0 et q n 0 entraînent N 1 ( f q − f p ) ε.
La suite ( f n ) est une suite de Cauchy pour la norme N 1 .
3. Quand deux normes ne sont pas équivalentes, une suite peut être de Cauchy pour
l'une et pas pour l'autre.
Avec l'aide du graphique, on a N ∞ ( f q − f p ) = q − p.
Cette norme ne tend pas vers 0 quand p et q tendent vers l'infini.
Dans E muni de N ∞ , la suite ( f n ) n'est donc pas une suite de Cauchy.