Exercice 4.16 : Espaces complets
Soit E un espace vectoriel normé, F et G deux sous-espaces supplémentaires. On
désigne par p la projection sur F parallèlement à G et on suppose que p est continue.
1. Montrer que F et G sont fermés.
2. Montrer que :
E complet
⇐⇒
F et G complets
.
Cet exercice utilise diverses propriétés que vous devez connaître.
• Si A est une partie fermée d'un espace complet E, alors A est un complet.
• Si f est linéaire et continue, alors f est uniformément continue.
• Si (x n ) est une suite de Cauchy et si f est uniformément continue, alors
f (u n )
est une suite de Cauchy.
1. Comme G = Ker p est l'image réciproque par l'application continue p du
fermé {0}, G est fermé.
Le projecteur associé q = p − Id E est aussi continu, et F est l'image réciproque par q du fermé {0} ; F est donc un fermé.
2. • Supposons que E soit complet.
Comme F et G sont des parties fermées de E complet, ce sont des complets.
• Supposons que F et G soient complets.
Considérons (x n ) une suite de Cauchy de E, et démontrons qu'elle converge
dans E.
Les applications p et q sont linéaires et continues, donc uniformément
continues.
Les suites images
p(x n )
et
q(x n )
sont donc de Cauchy dans F et G respectivement.
Comme F et G sont complets, elles sont convergentes.
Comme F et G sont supplémentaires, on a :
x n = p(x n ) + q(x n ) .
La suite (x n ), somme de deux suites convergentes, est convergente.
E est donc complet.
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Chapitre 4 • Espaces vectoriels normés