Notons que Q n'a aucune raison d'être orthogonale car P ne l'est pas forcément,
comme nous l'avons remarqué plus haut.
Comme souvent nous avons utilisé la diagonalisabilité d'une matrice symétrique
et le fait que, dans ce cas, on peut choisir les matrices de passage orthogonales.
C'est parce que est orthogonale que l'on a pu remplacer −1 par t et obtenir
ainsi le résultat souhaité.
3. Pour trouver une matrice P convenant, il suffit de disposer d'une base de R 2
orthonormée pour le produit scalaire associé à A. Pour cela, on dispose d'un algorithme: le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. S'il peut parfois être
laborieux avec des calculs faisant intervenir des racines carrées, il est en revanche
très simple à utiliser en petite dimension.
Soit (e 1 ,e 2 ) la base canonique de R 2 et (u 1 ,u 2 ) la base orthonormée de R 2
pour le produit scalaire associé à A obtenue en appliquant à (e 1 ,e 2 ) le procédé de Gram-Schmidt. On pourra prendre pour P la matrice de passage de
(e 1 ,e 2 ) à (u 1 ,u 2 ) .
On trouve u 1 =
1
√
2
e 1 et u 2 =
2/3(−
1
2
e 1 + e 2 ) .
On peut donc prendre
P =
1/
√
2 −1/
√
6
0
√
2/
√
3
=
1
√
6
√
3 −1
0
2
.
Alors :
t P B P =
1/2
√
3/2
√
3/2 −1/2
.
Nous devons désormais chercher une matrice orthogonale telle que
−1 ( t P B P)) soit diagonale. Autrement dit, nous devons diagonaliser
t P B P.
Nous pouvons simplifier le raisonnement en remarquant que
t P B P est une matrice
de réflexion. Cependant, un calcul direct se fait sans problème vu la taille de la
matrice.
Notons f l'endomorphisme de R 2 canoniquement associé à
t P B P. Le polynôme caractéristique de f est X 2 − 1 et ses valeurs propres sont donc −1
et 1.
L'équation f (x,y) = (x,y) fournit deux équations proportionnelles qui se
réduisent à x/2 +
√
3 y/2 = x, soit x =
√
3 y . Ainsi,
Ker( f − Id) = {y(
√
3,1) : y ∈ R} = Vect((
√
3,1)).
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Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire