3. Application numérique : déterminer Q et D pour A =
2 1
1 2
et
B =
1 2
2 1
.
1. A étant symétrique définie positive, elle est la matrice dans la base canonique de
R n d'un produit scalaire ϕ.
Supposons avoir trouvé une matrice P convenant. Si (u 1 ,. . . ,u n ) est la base de R n
constituée des vecteurs colonnes de P, la relation
t P AP = I n entraîne
t u i Au j = δ i, j . En particulier, ceci signifie que (u 1 ,. . . ,u n ) est orthonormée pour ϕ.
Ceci montre comment construire la matrice P.
Soient C la base canonique de R n , B une base de R n orthonormée pour le
produit scalaire associé à A et P la matrice de passage de C à B. Alors
P ∈ G L n (R) et
t P AP = I n .
C est orthonormée pour le produit scalaire canonique et B est orthonormée pour le
produit scalaire associé à A. Il n'y a donc aucune raison pour que P soit orthogonale car c'est une matrice de passage entre deux bases qui ne sont pas orthonormées pour le même produit scalaire !
2. La matrice B étant symétrique réelle il existe une matrice orthogonale C telle que
C −1 BC, qui est égale à
t C BC car C −1 = t C, soit diagonale. Cependant, il n'y a
aucune raison que
t C AC soit égale à I n . Il s'agit plutôt de faire intervenir la matrice
P puisqu'on a déjà la relation
t P AP = I n . Bien sûr, P étant définie uniquement à
partir de A, il n'y a aucune raison que
t P B P soit diagonale. Cependant, cette matrice
est symétrique. En diagonalisant cette matrice plutôt que simplement B on aura une
relation entre B et une matrice diagonale faisant intervenir P.
La matrice
t P B P est symétrique réelle : en effet,
t ( t P B P) =
t P t B t t P = t P B P car
t B = B. En particulier,
t P B P est orthogonalement
semblable à une matrice diagonale.
Soient D une matrice diagonale et une matrice orthogonale telles que
−1
(
t P B P)) = D.
Comme est orthogonale, −1 = t donc
t t P B P = D.
Posons Q = P. Q est inversible comme produit de deux matrices inversibles et
t Q = t (P) = t t P. Ainsi :
t Q B Q = D.
Enfin :
t Q AQ = t t P AP = t = I n , car t P AP = I n .
90
Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire
2 1
1 2
et
B =
1 2
2 1
.
1. A étant symétrique définie positive, elle est la matrice dans la base canonique de
R n d'un produit scalaire ϕ.
Supposons avoir trouvé une matrice P convenant. Si (u 1 ,. . . ,u n ) est la base de R n
constituée des vecteurs colonnes de P, la relation
t P AP = I n entraîne
t u i Au j = δ i, j . En particulier, ceci signifie que (u 1 ,. . . ,u n ) est orthonormée pour ϕ.
Ceci montre comment construire la matrice P.
Soient C la base canonique de R n , B une base de R n orthonormée pour le
produit scalaire associé à A et P la matrice de passage de C à B. Alors
P ∈ G L n (R) et
t P AP = I n .
C est orthonormée pour le produit scalaire canonique et B est orthonormée pour le
produit scalaire associé à A. Il n'y a donc aucune raison pour que P soit orthogonale car c'est une matrice de passage entre deux bases qui ne sont pas orthonormées pour le même produit scalaire !
2. La matrice B étant symétrique réelle il existe une matrice orthogonale C telle que
C −1 BC, qui est égale à
t C BC car C −1 = t C, soit diagonale. Cependant, il n'y a
aucune raison que
t C AC soit égale à I n . Il s'agit plutôt de faire intervenir la matrice
P puisqu'on a déjà la relation
t P AP = I n . Bien sûr, P étant définie uniquement à
partir de A, il n'y a aucune raison que
t P B P soit diagonale. Cependant, cette matrice
est symétrique. En diagonalisant cette matrice plutôt que simplement B on aura une
relation entre B et une matrice diagonale faisant intervenir P.
La matrice
t P B P est symétrique réelle : en effet,
t ( t P B P) =
t P t B t t P = t P B P car
t B = B. En particulier,
t P B P est orthogonalement
semblable à une matrice diagonale.
Soient D une matrice diagonale et une matrice orthogonale telles que
−1
(
t P B P)) = D.
Comme est orthogonale, −1 = t donc
t t P B P = D.
Posons Q = P. Q est inversible comme produit de deux matrices inversibles et
t Q = t (P) = t t P. Ainsi :
t Q B Q = D.
Enfin :
t Q AQ = t t P AP = t = I n , car t P AP = I n .
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Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire