Une somme de réels positifs est nulle seulement si tous les termes sont nuls,
i.e. a 1 = · · · = a n = 0, soit AX = 0. A étant inversible on en déduit
X = 0.
2. Considérons la question à l'envers : si et S conviennent on a
t A A = t S t S.
Or
t S = S car S est symétrique et
t = −1 car est orthogonale. On a donc
t A A = S 2 . Ainsi, S ne peut être que la racine carrée symétrique positive de
t A A.
Par ailleurs, si S 2 = t A A alors det(S) 2 = det(A) 2 qui n'est pas nul ; S est donc en
fait définie positive.
Nous allons commencer par définir S ainsi. Ensuite, il n'y aura pas de choix pour
: on doit avoir A = S. Comme S est inversible, ceci impose = AS −1 .
Nous poserons donc les définitions de S et ainsi et vérifierons ensuite qu'elles
conviennent bien. Il ne faudra pas oublier de démontrer que est bien orthogonale.
t A A étant symétrique positive il existe une unique matrice symétrique positive S telle que S 2 = t A A.
De plus, det(S) 2 = det(A) 2 = / 0 donc S est inversible. Ainsi, S et en fait
définie positive.
De plus, S étant inversible, on peut poser = AS −1 .
On a alors A = S et S ∈ S ++
n (R).
Vérifions que est orthogonale : on a, étant donné que
t S = S et
t A A = S 2 :
t
=
t
S
−1 t
A AS
−1
= S
−1 S
2 S
−1
= I n .
Ainsi, ∈ O n (R).
L'unicité est en partie prouvée plus haut : si S convient alors S ne peut être que
l'unique matrice symétrique positive dont le carré est
t A A. Pour le rédiger, on peut
considérer un autre couple convenant et montrer les égalités.
Soit (( 1 ,S 1 ) ∈ O n (R) × S ++
n (R) tel que A = 1 S 1 .
D'une part,
t A A = S
2
1 ; on a donc S 1 = S car S est l'unique matrice symétrique positive de carré
t A A.
On a alors 1 S = S. S étant inversible, il vient 1 = . Ainsi, le couple
((,S) est unique.
Exercice 3.8 : Congruence simultanée et inégalités sur
les déterminants
Soient A ∈ S ++
n (R) et B ∈ S n (R).
1. Montrer qu'il existe P ∈ G L n (R) telle que
t P AP = I n .
2. En déduire qu'il existe Q ∈ G L n (R) et D ∈ M n (R), avec D diagonale, telles
que
t Q AQ = I n et
t Q B Q = D.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
89
Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire
i.e. a 1 = · · · = a n = 0, soit AX = 0. A étant inversible on en déduit
X = 0.
2. Considérons la question à l'envers : si et S conviennent on a
t A A = t S t S.
Or
t S = S car S est symétrique et
t = −1 car est orthogonale. On a donc
t A A = S 2 . Ainsi, S ne peut être que la racine carrée symétrique positive de
t A A.
Par ailleurs, si S 2 = t A A alors det(S) 2 = det(A) 2 qui n'est pas nul ; S est donc en
fait définie positive.
Nous allons commencer par définir S ainsi. Ensuite, il n'y aura pas de choix pour
: on doit avoir A = S. Comme S est inversible, ceci impose = AS −1 .
Nous poserons donc les définitions de S et ainsi et vérifierons ensuite qu'elles
conviennent bien. Il ne faudra pas oublier de démontrer que est bien orthogonale.
t A A étant symétrique positive il existe une unique matrice symétrique positive S telle que S 2 = t A A.
De plus, det(S) 2 = det(A) 2 = / 0 donc S est inversible. Ainsi, S et en fait
définie positive.
De plus, S étant inversible, on peut poser = AS −1 .
On a alors A = S et S ∈ S ++
n (R).
Vérifions que est orthogonale : on a, étant donné que
t S = S et
t A A = S 2 :
t
=
t
S
−1 t
A AS
−1
= S
−1 S
2 S
−1
= I n .
Ainsi, ∈ O n (R).
L'unicité est en partie prouvée plus haut : si S convient alors S ne peut être que
l'unique matrice symétrique positive dont le carré est
t A A. Pour le rédiger, on peut
considérer un autre couple convenant et montrer les égalités.
Soit (( 1 ,S 1 ) ∈ O n (R) × S ++
n (R) tel que A = 1 S 1 .
D'une part,
t A A = S
2
1 ; on a donc S 1 = S car S est l'unique matrice symétrique positive de carré
t A A.
On a alors 1 S = S. S étant inversible, il vient 1 = . Ainsi, le couple
((,S) est unique.
Exercice 3.8 : Congruence simultanée et inégalités sur
les déterminants
Soient A ∈ S ++
n (R) et B ∈ S n (R).
1. Montrer qu'il existe P ∈ G L n (R) telle que
t P AP = I n .
2. En déduire qu'il existe Q ∈ G L n (R) et D ∈ M n (R), avec D diagonale, telles
que
t Q AQ = I n et
t Q B Q = D.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire