Comme Mat B i (t i ) 2 = diag(µ
2
1 ,. . . ,µ
2
dim E i
) il vient
∀k ∈ {1,. . . ,dim(E i )},µ
2
k = λ i .
Ceci donne a priori une ou deux valeurs possibles pour chaque µ k (seulement 0 si
λ i = 0 , ±
√
λ i si λ i > 0 ).
Cependant, les µ k sont des valeurs propres de t i , donc de t, et sont donc positives
par hypothèse. Ainsi, il y a une seule valeur possible pour chaque µ k : µ k =
√
λ i .
t étant positif, toutes ses valeurs propres sont positives. Les scalaires µ k
sont des valeurs propres de t i , donc de t. Ainsi :
∀k ∈ {1,. . . ,dim(E i )}, µ k =
λ i
soit
∀i ∈ {1,. . . ,r},t i =
λ i Id E i .
t est donc l'endomorphisme de E vérifiant t (x) =
√
λ i x pour tout vecteur
x ∈ E i et pour tout i. t est donc unique.
Exercice 3.7 : Décomposition polaire
Soit A ∈ G L n (R).
1. Montrer que
t A A ∈ S ++
n (R).
2. À l'aide de la notion de racine carrée d'une matrice symétrique (voir exercice
précédent), montrer qu'il existe un unique couple ((,S) ∈ O n (R) × S ++
n (R) tel
que A = S. Ce couple est la décomposition polaire de A.
1. Il s'agit d'une vérification de routine à partir de la définition.
i)
t A A est symétrique :
t ( t A A) = t A t t A = t A A.
ii)
t A A est positive : soit X une matrice colonne. Alors
t X ( t A A)X = t (AX)AX.
En notant AX =


a 1
. . .
a n

 ∈ M n,1 (R) il vient
t (AX)AX = a
2
1 + · · · + a 2
n .
Ainsi :
t X (
t A A)X 0.
iii)
t A A est définie positive : soit X une matrice colonne telle que
t X ( t A A)X = 0. Alors, avec les notation précédentes, a
2
1 + · · · + a 2
n = 0.
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Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire