Nous avons démontré l'existence d'une matrice T dont le carré est S, mais encore
faut-il vérifier que T est symétrique positive !
Vérifions que T est symétrique positive.
i) T est symétrique :
t T = t (P E P −1 ) = t P −1 t E t P. Or P est orthogonale
donc
t P = P −1 et E est symétrique car diagonale ; ainsi
t T = P E P −1 = T.
ii) T est positive : T est semblable à la matrice diagonale E ; les valeurs
propres de T sont donc les coefficients diagonaux de E. Comme ils sont tous
positifs, T est bien positive.
Ainsi, T est une matrice symétrique positive telle que T 2 = S.
Nous avons utilisé un peu plus que la diagonalisabilité de S : nous avons utilisé le
fait que l'on pouvait choisir des matrices de passage orthogonales. Cette propriété
est cruciale pour montrer que T est bien symétrique.
D'une manière générale, quand on cherche à utiliser la diagonalisabilité d'une
matrice symétrique réelle, il est bon de ne pas oublier que les matrices de passage
peuvent être choisies orthogonales.
2. Si T est une matrice symétrique positive de carré S, S et T commutent car
ST = T 3 = T S. En notant s (resp. t) l'endomorphisme de R n canoniquement associé à S (resp. T) on a donc s ◦ t = t ◦ s. Ainsi, tout sous-espace propre de s est
stable par t et réciproquement. Ceci permet de ramener le problème à chaque sousespace propre de s car un endomorphisme induit par un endomorphisme diagonalisable est également diagonalisable.
Soit T ∈ S +
n (R) telle que T 2 = S. En notant s (resp. t) l'endomorphisme
de R n canoniquement associé à S (resp. T) on a s ◦ t = t 3 = t ◦ s et donc
s ◦ t = t ◦ s.
Notons λ 1 ,. . . ,λ r les valeurs propres distinctes de S et E 1 ,. . . ,E r les sousespaces propres associés.
On a donc, pour tout i, t (E i ) ⊂ E i . Notons t i l'endomorphisme de E i induit
par t. t étant diagonalisable, t i l'est également. De plus, toute valeur propre
de t i est une valeur propre de t ; elles sont donc toutes positives.
Soit B i une base de E i telle que la matrice de t i dans la base B i est diagonale :
Mat B i (t i ) = diag(µ 1 ,. . . ,µ dim(E i ) ) ∈ M dim(E i ) (R).
En notant s i l'endomorphisme de E i induit par s, on a tout simplement
s i = λ i Id E i car E i est le sous-espace propre de s associé à la valeur
propre λ i .
Par ailleurs, comme t 2 = s, t
2
i = s i et donc Mat B i (t i ) 2 = λ i I dim(E i ) .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
87
Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire
faut-il vérifier que T est symétrique positive !
Vérifions que T est symétrique positive.
i) T est symétrique :
t T = t (P E P −1 ) = t P −1 t E t P. Or P est orthogonale
donc
t P = P −1 et E est symétrique car diagonale ; ainsi
t T = P E P −1 = T.
ii) T est positive : T est semblable à la matrice diagonale E ; les valeurs
propres de T sont donc les coefficients diagonaux de E. Comme ils sont tous
positifs, T est bien positive.
Ainsi, T est une matrice symétrique positive telle que T 2 = S.
Nous avons utilisé un peu plus que la diagonalisabilité de S : nous avons utilisé le
fait que l'on pouvait choisir des matrices de passage orthogonales. Cette propriété
est cruciale pour montrer que T est bien symétrique.
D'une manière générale, quand on cherche à utiliser la diagonalisabilité d'une
matrice symétrique réelle, il est bon de ne pas oublier que les matrices de passage
peuvent être choisies orthogonales.
2. Si T est une matrice symétrique positive de carré S, S et T commutent car
ST = T 3 = T S. En notant s (resp. t) l'endomorphisme de R n canoniquement associé à S (resp. T) on a donc s ◦ t = t ◦ s. Ainsi, tout sous-espace propre de s est
stable par t et réciproquement. Ceci permet de ramener le problème à chaque sousespace propre de s car un endomorphisme induit par un endomorphisme diagonalisable est également diagonalisable.
Soit T ∈ S +
n (R) telle que T 2 = S. En notant s (resp. t) l'endomorphisme
de R n canoniquement associé à S (resp. T) on a s ◦ t = t 3 = t ◦ s et donc
s ◦ t = t ◦ s.
Notons λ 1 ,. . . ,λ r les valeurs propres distinctes de S et E 1 ,. . . ,E r les sousespaces propres associés.
On a donc, pour tout i, t (E i ) ⊂ E i . Notons t i l'endomorphisme de E i induit
par t. t étant diagonalisable, t i l'est également. De plus, toute valeur propre
de t i est une valeur propre de t ; elles sont donc toutes positives.
Soit B i une base de E i telle que la matrice de t i dans la base B i est diagonale :
Mat B i (t i ) = diag(µ 1 ,. . . ,µ dim(E i ) ) ∈ M dim(E i ) (R).
En notant s i l'endomorphisme de E i induit par s, on a tout simplement
s i = λ i Id E i car E i est le sous-espace propre de s associé à la valeur
propre λ i .
Par ailleurs, comme t 2 = s, t
2
i = s i et donc Mat B i (t i ) 2 = λ i I dim(E i ) .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire